Activity: Talk or presentation › Science to science
Description
Der Laplaceoperator auf Graphen besitzt ähnliche Eigenschaften wie der
Laplace-Beltrami-Operator auf Mannig-faltigkeiten.
Eine dieser Eigenschaften ist der Satz von Faber-Krahn. Er besagt,
dass unter allen Gebieten $D\subset\reals^n$ mit festem vorgege-benen Volumen der kleinste Eigenwert des Dirichlet Problems auf einer Kugel
angenommen wird.
Es ist nun möglich, auch auf Graphen Dirichlet Eigenwertprobleme zu formu- lieren. Mit Hilfe einer Rearrangement-Technik kann gezeigt werden, dass für reguläre Bäume eine Faber-Krahn-Ungleichung gilt. Überraschenderweise wird der kleinste Dirichlet Eigenwert jedoch auf einer "verbeulten" Kugel angenommen, d.h. auf einem Baum, bei dem die Abstände von der Wurzel zu den Knoten am Rand nur ungefähr gleich lang sind.